Коста Групчев е роден през 1848 година в град Охрид, Македония. Син на Ангел Групчев. В 1885 година напуска Охрид и става студент в Софийския университет  и членува в ученическото просветно дружество „Свети Климент“. Същата година заедно Наум Евров, Темко Попов, и Васил Карайовов създават Таен македонски комитет. Комитета разпространява идея за отделна македонска народност, македонски език и самостоятелна църква – Охридската архиепископия като самостоятелна македонска църква. Комитетът бил открит от българските власти и разтурен. По-голямата част от членовете му емигрират в Сърбия. През 1886 година на заседание в Белград те приемат своя програма, съгласувана със сръбското правителство. Сдружението е подкрепено от сръбската държава. В съответствие с програмата през същата година в Цариград е създадено Дружество на сърбомакедонците.  Групчев е един от най-активните сръбски дейци в Цариград и е с голям принос за изкарването на двата берата за сръбски владици в Македония. Носител е на сръбските ордените „Свети Сава“, „Кръст на Божи гроб“, Данилов орден и на турския Меджидие  III степен. Умира на 3 февруари 1907 година в Цариград.